קורס לינארית 1 (אלגברה לינארית 1) - לימוד יסוד באלגברה באוניברסיטאות ישראל

פרק 1 - דיון על מערכת משוואות + פתרונות למערכת משוואות ודיון על שדות מפרק 5

שיעורים : 10

סה״כ : 2 שעות 59 דקות

שיעור 1 - בודקים האם קבוצה מסוימת היא שדה
22 דקות
שיעור 2 – שוב בודקים האם קבוצה נתונה היא שדה - החיבור שמוגדר הוא הסטנדרטי מעל R^2
18 דקות
שיעור 3 - בודקים האם קבוצה נתונה היא שדה (פעם 3)
9 דקות
שיעור 4 - פתרון משוואות מעל שדה סופי – Z_p (מודולו)
21 דקות
שיעור 5 - מערכת משוואות אי-הומוגנית - איך מדרגים? לאן מכוונים? איך יודעים כמה פתרונות יש?
29 דקות
שיעור 6 – מציאת פתרון כללי עבור מערכת משוואות
17 דקות
שיעור 7 - מערכת משוואות הומוגנית
12 דקות
שיעור 8 - מערכת משוואות אי-הומוגנית מעל שדה סופי
9 דקות
שיעור 9 - מערכת משוואות עם פרמטר מעל השדה R
29 דקות
שיעור 10 - מערכת משוואות עם פרמטרים מעל שדה סופי
13 דקות

פרק 2 - דיון על המרחב F^n, צרוף לינארי - קבוצה תלויה ובלתי-תלויה לינארית, בסיסים ופרישה

שיעורים : 17

סה״כ : 5 שעות 29 דקות

שיעור 1 - התנסות עם המושג צרוף לינארי: תרגיל פשוט ונצמדים להגדרה
18 דקות
שיעור 2 - ממשיכים להכיר את הצרוף הלינארי, שני סעיפים עם מרחב קצת יותר "גדול"
9 דקות
שיעור 3 - צרוף לינארי והפעם בשדה סופי - שני סעיפים
14 דקות
שיעור 4 - צרוף לינארי אבל הפעם "בלי מספרים", כלומר הפעם התרגיל יהיה תאורטי יותר, אבל אותם העקרונות בדיוק
12 דקות
שיעור 5 - צרוף לינארי ועבודה עם פרמטרים: אפשר בהחלט לנסות לבד כי התשתית שלנו כבר איכותית
13 דקות
שיעור 6 - דיון על קבוצה ת"ל ובת"ל: דיון ודוגמאות פשוטות על ההגדרות לקבוצה תלויה לינארית ובלתי תלויה לינארית ונציג משפטים נוספים שיעזרו לנו להבין את ההגיון של ההגדרות
26 דקות
שיעור 7 - דוגמאות פשוטות לקבוצות תלויות ובלתי תלויות (בהחלט שווה קודם לנסות לבד)
15 דקות
שיעור 8 - קבוצה תלויה ובלתי תלויה כאשר כבר נתונה קבוצה אחרת שהיא בלתי-תלויה (איך משתמשים נכון בנתון הזה?)
21 דקות
שיעור 9 - עוד על קבוצה ת"ל ובת"ל והפעם עם פרמטר וסעיף נוסף עם שאלה מעניינת
16 דקות
שיעור 10 - דיון ודוגמאות פשוטות סביב הרעיון של קבוצה פורשת למרחב F^n ובסיס. "איך בונים" מרחב?
25 דקות
שיעור 11 - דיון טכני סביב ההגדרה והמשפטים בנושא הקבוצה הפורשת
24 דקות
שיעור 12 - צרוף לינארי עם פרמטרים + סעיף מכשיל (ג) - תנסו לחשוב האם בכלל ניתן לעשות את הנדרש?
28 דקות
שיעור 13 - עבודה עם קבוצה פורשת ופרמטר
23 דקות
שיעור 14 - דיון תאורטי - מערכת משוואות בהצגה "מיוחדת" והרעיון של מטריצת מקדמים מצומצמת
19 דקות
שיעור 15 - דיון יותר תאורטי סביב מערכת משוואות (בהצגה מיוחדת) + פתרונות למערכת + כמות שורות ועמודות
10 דקות
שיעור 16 - 4 סעיפים תאורטיים הדנים בקבוצה פורשת ובסיס והקשר לכמות שורות ועמודות במערכת משוואות
32 דקות
שיעור 17 - דיון תאורטי על עקרון הסופר פוזיציה במערכת משוואות הומוגנית + הצגה כללית של מערכת משוואות הומוגנית ועבודה איתה
24 דקות

מטריצות ודטרמיננטות - דיון על פרקים 3-4 - אלמנטים טכניים, דיון מעמיק על הפיכות ופיתוח דטרמיננטות

שיעורים : 18

סה״כ : 5 שעות 5 דקות

שיעור 1 - הקדמה - כפל מטריצות וממה להיזהר
21 דקות
שיעור 2 - כתיב מטריציאלי של מערכת משוואות ודיון על הצגה מטריציאלית של מערכת משוואות
16 דקות
שיעור 3 - תרגיל 1: יישום של כתיב מטריציאלי
13 דקות
שיעור 4 - תרגיל 2: הכרות עם למה מאוד מרכזית - למה 3.4.3
16 דקות
שיעור 5 - הקדמה - נבין מהי מטריצה אלמנטרית ואז נבין איך זה מתחבר להפיכות ומה השיטה "הטכנית" למציאת המטריצה ההופכית.
20 דקות
שיעור 6 - תרגיל 3: הרעיון של שקילות שורות + דיון ראשוני סביב הרעיון של מטריצה הפיכה ומסקנה 3.9.9
15 דקות
שיעור 7 - הקדמה - נגדיר את הדטרמיננטה ונבין את האלמנטים הטכניים שלה
37 דקות
שיעור 8 - תרגיל 4: תרגול טכני עם של דטרמיננטוה עם "הרבה" פרמטרים ויישום משפטים טכניים נוספים
11 דקות
שיעור 9 - תרגיל 5: משפט 3.10.6 ויישום "שיטות לדבר הפיכות"
30 דקות
שיעור 10 - תרגיל 6: פיתוח דטרמיננטה
33 דקות
שיעור 11 - תרגיל 7: פיתוח דטרמיננטה הנמצאת בשימוש רב
7 דקות
שיעור 12 - תרגיל 8: דיון על הפיכות ושימוש בהפיכה
13 דקות
שיעור 13 - תרגיל 9: דיון על הפיכות ושימוש בהפיכה
10 דקות
שיעור 14 - תרגיל 10: דיון על הפיכות ע"י דטרמיננטה והסקת מסקנות על פתרונות למערכת הומוגנית
15 דקות
שיעור 15 - תרגיל 11: מטריצות ודיון על סדר המטריצה
9 דקות
שיעור 16 - תרגיל 12: הפיכות ופעולות של הפעלת "היפוך" - עבודה טכנית ומעניינת
9 דקות
שיעור 17 - תרגיל 13: הפיכות ואלמנט "טריקי" ששווה להכיר בכל הקשור להוכחת הפיכות
22 דקות
שיעור 18 - תרגיל 14: דיון יותר מופשט על הפיכות
9 דקות

שדה המספרים המרוכבים - דיון וטכניקות בנושא שדה המספרים המרוכבים - פרק 6

שיעורים : 12

סה״כ : 3 שעות 4 דקות

שיעור 1 - הקדמה - מה הרעיון של המספר המרוכב למה בכלל יש מספר מרוכב? מה ההגיון מאחורי ההצגה הפולרית/קוטבית? קצת על מערכת צירים ופעולות אריתמטיות
29 דקות
שיעור 2 - הקדמה - ערך מוחלט של מספר מרוכב ומה הוא מייצג + טכניקת הכפל בצמוד
10 דקות
שיעור 3 - חוקים נוספים ותכונות שיעזרו לנו בהמשך
14 דקות
שיעור 4 - תרגיל 1: פתרונות למשוואה פולינומיאלית
16 דקות
שיעור 5 - תרגיל 2: מרוכבים - שילוב עם הפיכות
16 דקות
שיעור 6 - תרגיל 3: מפתחים דטרמיננטה עם אלמנט של מספרים מרוכבים
14 דקות
שיעור 7 - תרגיל 4: תכונות הצמוד וכפל בצמוד כקונספט לעבודה במרוכבים
21 דקות
שיעור 8 - תרגיל 5: עבודה אלגברית עם מספרים מרוכבים ו-2 דרכים
16 דקות
שיעור 9 - תרגיל 6: הפיכות ומספרים מרוכבים
11 דקות
שיעור 10 - תרגיל 7: תרגיל טכני וקצר בשדה המרוכבים
5 דקות
שיעור 11 - תרגיל 8: פולינומים בשדה המרוכבים עם מקדמים ממשיים וחילוק פולינומים
13 דקות
שיעור 12 - תרגיל 9 תרגיל "יצירתי" בנושא שדה המספרים המרוכבים
19 דקות

מרחבים - דיון על פרקים 7-8 (קבוצה פורשת, ממדים ושוויון מרחבים)

שיעורים : 28

סה״כ : 10 שעות 28 דקות

שיעור 1 - הגדרת המרחב ותרגול
40 דקות
שיעור 2 - הגדרה הגדרת מרחב: תרגול נוסף
32 דקות
שיעור 3 - בוחן לתת-מרחב: נציג את הבוחן - נאמר כמה מילים ונתרגל
16 דקות
שיעור 4 - תת-מרחב עוד תרגול: בוחן לתת-מרחב וקבוצה פורשת
16 דקות
שיעור 5 - תת-מרחב: עוד תרגול בוחן לתת-מרחב וקבוצה פורשת (תרגיל נוסף)
22 דקות
שיעור 6 - עוד על תת-מרחב: בוחן לתת מרחב, קבוצה פורשת והוכחת הכלה
17 דקות
שיעור 7 - הקדמה לנושא העתקת הקואורדינטות - אלמנט טכני מרכזי ביותר!
27 דקות
שיעור 8 - הקדמה למרחבי שורות - שימוש נכון ודוגמאות טכניות + הסבר ודוגמה טכנית למטריצת מעבר
29 דקות
שיעור 9 - מטריצת מעב: דיון על ההגדרה נבין אינטואיטיבית מה זה בכלל ולמה זה טוב ואז נדגים מקרה פשוט
24 דקות
שיעור 10 - מטריצת מעבר: יישום + עבודה עם תכונות נבין איך עובדים נכון עם מטריצות מעבר וניגע בהופכית שלה ומה היא מייצגת
34 דקות
שיעור 11 - תרגיל 1: דיון על סכום ישר ופרמטר שעבורו מתקיים הסכום הזה
35 דקות
שיעור 12 - תרגיל 2: הוכחת בת"ל ע"י הגדרה ושימוש בצרוף לינארי
16 דקות
שיעור 13 - תרגיל :3 מציאת בסיס לחיתוך מרחבים והוצאת קבוצה פורשת מפתרון מערכת הומוגנית. שימוש במרחב שורות וקואורדינטות
21 דקות
שיעור 14 - תרגיל 4: דיון מופשט על span ועל מימד
22 דקות
שיעור 15 - תרגיל 5: הוכח/הפרך וסכום ישר
10 דקות
שיעור 16 - תרגיל 6: מרחב פולינומים + קואורדינטות ומרחב שורות + בסיסים לכל אחד, לחיבור ולחיתוך + מציאת תת-מרחב כך שנקבל סכום ישר
54 דקות
שיעור 17 - תרגיל 7: מרחבי מטריצות + קואורדינטות ומרחב שורות + מציאת בסיס לחיתוך ולסכום
33 דקות
שיעור 18 - תרגיל 8: דיון על span בצורה מופשטת + דרוג של ספאן ועבודה עם צרופים לינארים
28 דקות
שיעור 19 - תרגיל 9: הוכיחו/הפריכו + עבודה עם בת"ל וצרופים לינארים + חיתוך מרחבים
20 דקות
שיעור 20 - תרגיל 10: צרופים לינארים וקבוצה פורשת - יצירת צרוף לינארי והצבה נכונה
20 דקות
שיעור 21 - תרגיל 11: מציאת מימד של מרחב עם פונקציות טריגונומטריות - תרגיל טכני
14 דקות
שיעור 22 - תרגיל 12: עבודה עם צרופים לינאריים וקבוצות בת"ל אלמנט טכני משמעותי
14 דקות
שיעור 23 - תרגיל 13: דיון על דרגות ומשפטים/שאלות מרכזיות - המטריצות לא בהכרח ריבועיות פה.
9 דקות
שיעור 24 - תרגיל 14: דיון על דרגות והקשר שלהן לפתרונות של מערכת משוואות. שימו לב ש- b מ - R^4
7 דקות
שיעור 25 - תרגיל 15: דיון על דרגות ומערכת משוואות
14 דקות
שיעור 26 - תרגיל 16: שימוש בלמה 3.4.3 ודיון על דרגה תרגיל מרכזי מאוד
22 דקות
שיעור 27 - תרגיל 17: קבוצה מתוך מרחב המרוכבים ובדיקת תת-מרחב
9 דקות
שיעור 28 - תרגיל 18: הוכחת תת-מרחב ועבודה עם מספרים מרוכבים
22 דקות

טרנספורמציות לינאריות - דיון על פרק 9 (גרעין, תמונה, איזומורפיזם, מציאת העתקות וכו')

שיעורים : 20

סה״כ : 6 שעות 48 דקות

שיעור 1 – הגדרת הטרנספורמציה הלינארית: נעבוד עם ההגדרה ונבין מה היא תכונת הלינאריות ולמה היא כל כך רצויה
26 דקות
שיעור 2 – גרעין של טרנספורמציה לינארית (ker): נכיר את הגרעין ונמצא אחד כזה
16 דקות
שיעור 3 – גרעיןוהקשר לחח״ע
17 דקות
שיעור 4 - תמונה של הטרנספורמציה לינארית (Im): נבין מהי תמונתה ונכיר את תכונת ה - "על"
22 דקות
שיעור 5 – תמונה והקשר לתכונת ״על״
7 דקות
שיעור 6 – הקדמה לאיזומורפיזם: מתי ט"ל היא איזומורפית (מקיימת את תכונת האיזומורפיזם) ולמה זו תכונה רצויה
25 דקות
שיעור 7 - ט"ל ושדה סופי: תרגיל טכני שנוגע בגרעין, תמונה, איזומורפיזם והט"ל ההופכית.
48 דקות
שיעור 8 – מציאת גרעין ותמונה של ט"ל והרכבה
44 דקות
שיעור 9 - סכום ישר של גרעין ותמונה
32 דקות
שיעור 10 - איזומורפיזם והפרש של ט"ל
6 דקות
שיעור 11 - קיום של ט"ל + מציאת נוסחה
23 דקות
שיעור 12 – תרגול העוסק בקיום של ט"ל
10 דקות
שיעור 13 – תרגול נוסף בדבר קיום של ט"ל
14 דקות
שיעור 14 - עבודה "תאורטית" עם איזומורפיזם
21 דקות
שיעור 15 - שוויון בין-ker ים: שוויון מרחבים ותכונות של ט"ל
19 דקות
שיעור 16 - עוד דיון תאורטי בדבר הגרעין והתמונה כמרחבים
17 דקות
שיעור 17 - ט"ל עם טווח "מוזר" ונוסחה "מוזרה"
17 דקות
שיעור 18 - ט"ל המוגדרת ע"י כפל במטריצה + הקשר בין הפיכות של המטריצה להפיכות הט"ל + עבודה עם הנחת השלילה (רמז למי שרוצה לעבוד לבד)
19 דקות
שיעור 19 - שימוש בנתון של סכום ישר על גרעין ותמונה ודיון על קבוצה שבנויה מתמונות של T^2
15 דקות
שיעור 20 - נוכיח שלא קיימת ט"ל מסוימת
8 דקות

מטריצות ייצוג - דיון על פרק 10 (גרעין, תמונה, מציאת נוסחה ושימוש במשפט 10.2.1)

שיעורים : 11

סה״כ : 4 שעות 56 דקות

שיעור 1 – הגדרת המטריצה המיצגת: ניבנה ונעסוק בהרכבה של ט"ל ומציאת גרעין ותמונה ע"י מטריצה מייצגת
39 דקות
שיעור 2 - מציאת ערכי פרמטר ומציאת נוסחה ע"י מטריצה מייצגת
33 דקות
שיעור 3 – עוד מציאת ערכי פרמטר ומציאת נוסחה ע"י מטריצה מייצגת
21 דקות
שיעור 4 - מטריצת ייצוג של ט"ל הפיכה ומציאת נוסחה + עבודה בשדה סופי – Z_5
27 דקות
שיעור 5 - נתונה מטריצת ייצוג וצריך למצוא עבורה בסיס מתאים
31 דקות
שיעור 6 - מציאת בסיס כך שמטריצת הייצוג הנתונה אכן תתקבל
26 דקות
שיעור 7 - שימוש במשפט 10.2.1 כדי למצוא ערך של פרמטר
20 דקות
שיעור 8 - מציאת בסיס כך שמטריצת הייצוג הנתונה אכן תתקבל
34 דקות
שיעור 9 - מציאת בסיס כך שמטריצת הייצוג תהיה אלכסונית עם איברים מסוימים באלכסון + הוכחה של סכום ישר עבור גרעין ותמונה של ט"ל
31 דקות
שיעור 10 - תרגיל יחסית טכני העוסק בבניית מטריצת ייצוג עבור מרחב שנפרש ע"י פונקציות טריגונומטריות
15 דקות
שיעור 11 - דמיון בין מטריצות ייצוג עבור אותה ט"ל בבסיסים שונים + הפעלת משפט 10.2.1
19 דקות

פרק 11 - ליכסון של מטריצה וטרנספורמציה לינארית + דיון על דרגות וע"ע + פולינום אופייני ודמיון מטריצות

שיעורים : 14

סה״כ : 4 שעות 58 דקות

שיעור 1 - ריענון טכני בנושאים: לכסינות, ריבוי אלגברי וגאומטרי, פולינום אופייני, ערך עצמי, וקטור עצמי ומרחב עצמי
32 דקות
שיעור 2 - לכסון מטריצה עם פרמטרים ומשפטי דמיון
31 דקות
שיעור 3 - לכסון טכני עם פרמטרים ועבודה עם הגדרה של ע"ע
32 דקות
שיעור 4 - לכסון ומטריצות ייצוג: הקשר בין שתי מטריצות ייצוג לאותה ט"ל ועבודה עם משפטי דמיון
20 דקות
שיעור 5 - לכסון ודרגות ומה המשמעות של מטריצה סינגולרית כשמלכסנים
24 דקות
שיעור 6 - דיון על דרגות וע"ע ור"ג ע"י שאלה מרכזית בספר ובדיקת פתרון יחיד למערכת ע"י הנחת השלילה וע"ע
37 דקות
שיעור 7 - שימוש בשאלות מרכזיות בספר לבניית פולינום אופייני ואיך העקבה עוזרת לנו שם
22 דקות
שיעור 8 - שאלות מרכזיות שעוזרות לבנות פולינום אופייני ואיך העקבה באה לידיד ביטוי
18 דקות
שיעור 9 - דיון על פולינום אופייני ו-3 שאלות מרכזיות שעוזרות לנות אותו
25 דקות
שיעור 10 - עבודה עם דמיון
9 דקות
שיעור 11 - תרגיל בנושא הגדרת ע"ע והפיכות של מטריצה
13 דקות
שיעור 12 - דיון על ע"ע והוכחה באינדוקציה + הוכח/הפרך
16 דקות
שיעור 13 - דיון על פולינום אופייני ודמיון מטריצות - הוכח/הפרך
15 דקות
שיעור 14 - תרגיל תאורטי ומגניב לגבי פולינום אופייני
5 דקות

מכפלה סקלרית - פרק 12 - קבוצות אורתוגונליות ואורתונורמליות, הטלים ומשלימים אורתוגונלים

שיעורים : 11

סה״כ : 3 שעות 54 דקות

שיעור 1 - תרגיל טכני למציאת משלים אורתוגונלי, בסיסים אורתונורמלים, תהליך גרהאם שמידט ונרמול
30 דקות
שיעור 2 - מציאת היטל אורתוגונלי ב - 2 דרכים.
30 דקות
שיעור 3 - נוכיח שהטרנספורמציה היא לינארית ע"י שימוש בתכונות המכפלה הסקלרית ובדיקת לכסינות
24 דקות
שיעור 4 - הקשר בין מרחב פתרונות למערכת הומוגנית והמשלים האורתוגונלי
12 דקות
שיעור 5 - דיון על קבוצה אורתונורמלית
14 דקות
שיעור 6 - תרגיל תאורטי בשילוב עם טרנספורמציה לינארית וממדים
11 דקות
שיעור 7 - דיון עקיף על הנורמה ותכונת החיוביות
17 דקות
שיעור 8 - דיון על ממדים והמשלים האורתוגונלי
29 דקות
שיעור 9 - קבוצה אל מול המשלים האורתוגונלי שלה + הפרכה
11 דקות
שיעור 10 - סכום ישר והמשלים האורתוגונלי
14 דקות
שיעור 11 - טיפים למבחן
41 דקות

תרגול נוסף - תרגול כללי

שיעורים : 7

סה״כ : 3 שעות 9 דקות

שיעור 1 - תרגיל 1: הוכח/הפרך
35 דקות
שיעור 2 - תרגיל 2: אנחנו צדים ע״ע אבל אם בא לכם בינום - בעיה שלכם
17 דקות
שיעור 3 - תרגיל 3: איזו הגדרה מזכיר לכם הצ״ל הנתון (שאלה קלה מאוד במסווה של קשה מאוד)
13 דקות
שיעור 4 - תרגיל 4: איך התת-מרחבים האלו קשורים לע״ע ולריבוי גאומטרי?
28 דקות
שיעור 5 - תרגיל 5: מרחבי פתרונות והמשלים האורתוגונלי
30 דקות
שיעור 6 - תרגיל 6: מטריצת בלוקים של מטריצות הפיכות
15 דקות
שיעור 7 - תרגיל 7: טרנספורמציה לינארית שמוגדרת ע״י דטרמיננטה - שאלה לא פשוטה
51 דקות

מבחנים

שיעורים : 12

סה״כ : 9 שעות 59 דקות

מבחן 01: שאלות 1 - 2 | המבחן ופתרונות מוקלדים נמצאים במשאבים
1 שעות 5 דקות
מבחן 01: שאלות 3 - 4 | המבחן ופתרונות מוקלדים נמצאים במשאבים
1 שעות 23 דקות
מבחן 01: שאלה 5 | המבחן ופתרונות מוקלדים נמצאים במשאבים
18 דקות
מבחן 02: שאלות 1 - 2 | המבחן ופתרונות מוקלדים נמצאים במשאבים
54 דקות
מבחן 02: שאלות 3 - 4 | המבחן ופתרונות מוקלדים נמצאים במשאבים
1 שעות 2 דקות
מבחן 02: שאלה 5 | המבחן ופתרונות מוקלדים נמצאים במשאבים
30 דקות
מבחן 03: שאלות 1 - 2 | המבחן ופתרונות מוקלדים נמצאים במשאבים
1 שעות 26 דקות
מבחן 03: שאלות 3 - 4 | המבחן ופתרונות מוקלדים נמצאים במשאבים
51 דקות
מבחן 03: שאלה 5 | המבחן ופתרונות מוקלדים נמצאים במשאבים
20 דקות
מבחן 04: שאלות 1 - 2 | המבחן ופתרונות מוקלדים יעלו בהמשך למשאבים
57 דקות
מבחן 04: שאלות 3 - 4 | המבחן ופתרונות מוקלדים יעלו בהמשך למשאבים
45 דקות
מבחן 04: שאלה 5 | המבחן ופתרונות מוקלדים יעלו בהמשך למשאבים
28 דקות