אלגברה לינארית לתלמידי מדעים

פרק 1+2 - מערכת משוואות לינארית – פתרונות ומושגים חשובים, המרחב R^n – צ"ל, ת"ל, בת"ל, בסיסים ופרישה

שיעורים : 24

סה״כ : 7 שעות 51 דקות

שיעור 1 - מערכת משוואות אי-הומוגנית - איך מדרגים? לאן מכוונים? איך יודעים כמה פתרונות יש?
29 דקות
שיעור 2 - מערכת משוואות - פתרון כללי
17 דקות
שיעור 3 - מערכת משוואות הומוגנית ופתרון כללי
22 דקות
שיעור 4 - מערכת משוואות הומוגנית - פתרון כללי + איך יודעים ישר כמה פתרונות יש???
10 דקות
שיעור 5 - מערכת משוואות עם פרמטר מעל השדה R
29 דקות
שיעור 6 - מערכת משוואות וחקר פתרונות רק שהפעם ישנם 2 פרמטרים
25 דקות
שיעור 7 - שאלה תאורטית העוסקת במערכת משוואות - פתרונות והיחס למספר המשוואות ומספר המשתנים
13 דקות
שיעור 8 - שאלה תאורטית העוסקת במערכת משוואות - פתרונות והיחס למספר המשוואות ומספר המשתנים
17 דקות
שיעור 9 - שאלה תאורטית העוסקת במערכת משוואות - פתרונות והיחס למספר המשוואות ומספר המשתנים
15 דקות
שיעור 10 - התנסות עם המושג - צרוף לינארי. תרגיל פשוט ונצמדים להגדרה
18 דקות
שיעור 11 - ממשיכים להכיר את הצרוף הלינארי, שני סעיפים עם מרחב קצת יותר "גדול"
9 דקות
שיעור 12 - צרוף לינארי אבל הפעם "בלי מספרים", כלומר הפעם התרגיל יהיה תאורטי יותר, אבל אותם העקרונות בדיוק
12 דקות
שיעור 13 - צרוף לינארי ועבודה עם פרמטרים - אפשר בהחלט לנסות לבד כי התשתית שלנו כבר איכותית
13 דקות
שיעור 14 - דיון על קבוצה ת"ל ובת"ל: נעשה דיון ודוגמאות פשוטות על ההגדרות לקבוצה תלויה לינארית ובלתי תלויה לינארית. כמו כן נציג משפטים נוספים שיעזרו לנו ונבין את ההיגיון מאחוריהם
26 דקות
שיעור 15 - דיון טכני סביב ההגדרה והמשפטים בנושא הקבוצה הפורשת
15 דקות
שיעור 16 - עוד על קבוצה ת"ל ובת"ל והפעם עם פרמטר וסעיף נוסף עם שאלה מעניינת
16 דקות
שיעור 17 - קבוצה פורשת ובסיס: דיון ודוגמאות פשוטות סביב הרעיון של קבוצה פורשת למרחב F^n ובסיס. "איך בונים" מרחב?
25 דקות
שיעור 18 - דיון טכני סביב ההגדרה והמשפטים בנושא הקבוצה הפורשת
24 דקות
שיעור 19 - צרוף לינארי עם פרמטרים + סעיף מכשיל (ג) - תנסו לחשוב האם בכלל ניתן לעשות את הנדרש?
28 דקות
שיעור 20 - עבודה עם קבוצה פורשת ופרמטר
23 דקות
שיעור 21 - דיון תאורטי - מערכת משוואות בהצגה "מיוחדת" והרעיון של מטריצת מקדמים מצומצמת
19 דקות
שיעור 22 - דיון יותר תאורטי סביב מערכת משוואות (בהצגה מיוחדת) + פתרונות למערכת + כמות שורות ועמודות
10 דקות
שיעור 23 - 4 סעיפים תאורטיים הדנים בקבוצה פורשת ובסיס והקשר לכמות שורות ועמודות במערכת משוואות
32 דקות
שיעור 24 – (רשות/בונוס): דיון תאורטי על עקרון הסופר פוזיציה במערכת משוואות הומוגנית + הצגה כללית של מערכת משוואות הומוגנית ועבודה איתה
24 דקות

פרקים 3+4 - מטריצות ודטרמיננטות – מושגים, כתיב מטריציאלי, הפיכות, דטרמיננטות

שיעורים : 16

סה״כ : 4 שעות 35 דקות

שיעור 1 – כפל מטריצות וממה להיזהר: איך כופלים מטריצות וקצת דוגמאות נגדיות
21 דקות
שיעור 2 - כתיב מטריציאלי של מערכת משוואות: דיון ומחשה סביב הרעיון של הצגה מטריציאלית של מערכת משוואות
16 דקות
שיעור 3 - תרגיל 1 - יישום של כתיב מטריציאלי: מה הרעיון בפתרון למערכת משוואות???
13 דקות
שיעור 4 - הכרות עם למה מאוד מרכזית: למה 3.4.3
16 דקות
שיעור 5 - מטריצה אלמנטרית: נבין מהי מטריצה אלמנטרית ואז נבין איך זה מתחבר להפיכות ומה השיטה "הטכנית" למציאת המטריצה ההופכית.
20 דקות
שיעור 6 - הרעיון של שקילות שורות + דיון ראשוני סביב הרעיון של מטריצה הפיכה ומסקנה 3.9.9
15 דקות
שיעור 7 – דטרמיננטה: נגדיר את המושג ונבין את האלמנטים הטכניים של הדטרמיננטה
37 דקות
שיעור 8 - תרגול טכני עם של דטרמיננטה עם "הרבה" פרמטרים ויישום משפטים טכניים נוספים
11 דקות
שיעור 9 - משפט 3.10.6 ויישום "שיטות לדבר הפיכות"
30 דקות
שיעור 10 - פיתוח דטרמיננטה
33 דקות
שיעור 11 - פיתוח דטרמיננטה הנמצאת בשימוש רב
7 דקות
שיעור 12 - דיון על הפיכות ושימוש בהפיכה
13 דקות
שיעור 13 - דיון נוסף על הפיכות ושימוש בהפיכה
10 דקות
שיעור 14 - דיון על הפיכות ע"י דטרמיננטה והסקת מסקנות על פתרונות למערכת הומוגנית
15 דקות
שיעור 15 - דיון יותר מופשט על הפיכות
9 דקות
שיעור 16 - תרגיל נחמד על מטריצה סימטרית ואנטי-סימטרית
10 דקות

נספח – שדה המספרים המרוכבים

שיעורים : 14

סה״כ : 3 שעות 25 דקות

שיעור 1 - למה בכלל יש מספר מרוכב? מה ההיגיון מאחורי ההצגה הפולרית/קוטבית? קצת על מערכת צירים ופעולות אריתמטיות
29 דקות
שיעור 2 - ערך מוחלט של מספר מרוכב ומה הוא מייצג + טכניקת הכפל בצמוד
10 דקות
שיעור 3 - חוקים נוספים ותכונות שיעזרו לנו בהמשך
14 דקות
שיעור 4 - פתרונות למשוואה פולינומיאלית
16 דקות
שיעור 5 - שילוב עם הפיכות
16 דקות
שיעור 6 - קבוצה מתוך מרחב המרוכבים ובדיקת תת-מרחב
9 דקות
שיעור 7 - תכונות הצמוד וכפל בצמוד כקונספט לעבודה במרוכבים
21 דקות
שיעור 8 - עבודה אלגברית עם מספרים מרוכבים ב-2 דרכים
16 דקות
שיעור 9 - הוכחת תת-מרחב ועבודה עם מספרים מרוכבים
12 דקות
שיעור 10 - הפיכות ומספרים מרוכבים
12 דקות
שיעור 11 - תרגיל טכני וקצר בשדה המרוכבים
5 דקות
שיעור 12 - חישוב דטרמיננטה עם מספרים מרוכבים ונגיעה בערך עצמי
13 דקות
שיעור 13 - פולינומים בשדה המרוכבים עם מקדמים ממשיים וחילוק פולינומים
13 דקות
שיעור 14 - תרגיל "יצירתי" בנושא שדה המספרים המרוכבים
19 דקות

פרק 4 - מרחב לינארי/וקטורי - מרחב ותת-מרחב, ממדים, דרגות וקואורדינטות

שיעורים : 18

סה״כ : 6 שעות 36 דקות

שיעור 1 - הקדמה לנושא העתקת הקואורדינטות - ריענון טכני וחשוב
28 דקות
שיעור 2 - מרחב שורות - שימוש נכון ודוגמאות טכניות + הסבר ודוגמה טכנית למטריצת מעבר
29 דקות
שיעור 3 - נבין אינטואיטיבית מה זה בכלל ולמה זה טוב ואז נדגים מקרה פשוט
24 דקות
שיעור 4 - מטריצת מעבר - יישום + עבודה עם תכונות: נבין איך עובדים נכון עם מטריצות מעבר וניגע בהופכית שלה ומה היא מייצגת
34 דקות
שיעור 5 - דיון על span בצורה מופשטת + דרוג של span ועבודה עם צרופים ליניאריים
28 דקות
שיעור 6 - צרופים ליניאריים וקבוצה פורשת - יצירת צרוף לינארי והצבה נכונה
20 דקות
שיעור 7 - עבודה עם צרופים לינאריים וקבוצות בת"ל אלמנט טכני משמעותי
14 דקות
שיעור 8 - הגדרת המרחב ותרגול: נבין איך מפעילים את הגדרת המרחב ונתרגל
40 דקות
שיעור 9 - הגדרת מרחב - תרגול נוסף
32 דקות
שיעור 10 - בוחן לתת-מרחב - נציג את הבוחן - נאמר כמה מילים ונתרג
16 דקות
שיעור 11 - בוחן לתת-מרחב וקבוצה פורשת
16 דקות
שיעור 12 – עוד בוחן לתת-מרחב וקבוצה פורשת
22 דקות
שיעור 13 - בוחן לתת מרחב, קבוצה פורשת והוכחת הכלה
17 דקות
שיעור 14 - מציאת בסיס לחיתוך מרחבים והוצאת קבוצה פורשת מפתרון מערכת הומוגנית (שימוש במרחב שורות וקואורדינטות)
24 דקות
שיעור 15 - דיון על דרגות ומשפטים/שאלות מרכזיות - המטריצות לא בהכרח ריבועיות פה.
9 דקות
שיעור 16 - דיון על דרגות והקשר שלהן לפתרונות של מערכת משוואות
7 דקות
שיעור 17 - דיון על דרגות ומערכת משוואות
14 דקות
שיעור 18 – תרגיל לא פשוט
22 דקות

פרק 5 - טרנספורמציות לינאריות – הגדרת הלינאריות, גרעין ותמונה

שיעורים : 15

סה״כ : 5 שעות 10 דקות

שיעור 1 - מתחילים לעבוד על ההגדרה לטרנספורמציה לינארית
26 דקות
שיעור 2 - מהו הגרעין ה- kerT
16 דקות
שיעור 3 - נבין איך קושרים את הגרעין ואת התכונה חד-חד-ערכיות ונרוויח משפט להמשך
17 דקות
שיעור 4 - נכיר את ה- ImT
22 דקות
שיעור 5 – מה הקשר בין ImT לבין תכונת ה- ״על״
7 דקות
שיעור 6 - מתי ט"ל היא איזומורפית (מקיימת את תכונת האיזומורפיזם) ולמה זו תכונה רצויה
25 דקות
שיעור 7 - טרנספורמציה לינארית עם פרמטרים ומציאת KerT ו- ImT ונדבר על איזומורפיזם
41 דקות
שיעור 8 - מציאת גרעין ותמונה של ט"ל והרכבה
44 דקות
שיעור 9 - קיום של ט"ל + מציאת נוסחה
23 דקות
שיעור 10 - קיום של ט"ל
10 דקות
שיעור 11 – עוד קיום של ט"ל
14 דקות
שיעור 12 - שוויון בין ker-ים ושוויון מרחבים ותכונות של ט"ל
19 דקות
שיעור 13 - ט"ל עם טווח "מוזר" ונוסחה "מוזרה"
17 דקות
שיעור 14 - ט"ל המוגדרת ע"י כפל במטריצה + הקשר בין הפיכות של המטריצה להפיכות הט"ל + עבודה עם הנחת השלילה (רמז למי שרוצה לעבוד לבד(
19 דקות
שיעור 15 – תרגול תאורטי של הרכבה וקיימות
8 דקות

פרק 5 - מטריצת ייצוג

שיעורים : 7

סה״כ : 3 שעות 12 דקות

שיעור 1- בונים מטריצה מייצגת עבור הרכבה של ט"ל ומוצאים גרעין ותמונה בעזרתה
39 דקות
שיעור 2 - מציאת ערכי פרמטר ומציאת נוסחה ע"י מטריצה מייצגת
33 דקות
שיעור 3 - מציאת ערכי פרמטר ומציאת נוסחה ע"י מטריצה מייצגת בשנית
21 דקות
שיעור 4 - שימוש במשפט 5.7 כדי למצוא פרמטר
15 דקות
שיעור 5 - דמיון בין מטריצות ייצוג עבור אותה ט"ל בבסיסים שונים + הפעלת משפט 5.7
19 דקות
שיעור 6 – (לא פשוט בכלל) - נתונה מטריצת ייצוג וצריך למצוא עבורה בסיס מתאים
31 דקות
שיעור 7 – (לא פשוט בכלל) - מציאת בסיס כך שמטריצת הייצוג ״תיראה כך״
34 דקות

פרק 5 - דמיון וליכסון (ע"ע וגם ו"ע)

שיעורים : 9

סה״כ : 3 שעות 35 דקות

שיעור 1 - ריענון טכני בנושא לכסינות-ר"א-ר"ג-פולינום אופייני-ע"ע-ו"ע-מרחב עצמי
32 דקות
שיעור 2 - לכסון ונגזרת: נלכסן ט"ל כשהט"ל מוגדרת ע"י נגזרת (מוזר אבל בהחלט לא נורא)
15 דקות
שיעור 3 - לכסון טכני עם פרמטרים ועבודה עם הגדרה של ע"ע
32 דקות
שיעור 4 - לכסון ומטריצות ייצוג - הקשר בין שתי מטריצות ייצוג לאותה ט"ל ועבודה עם משפטי דמיון
33 דקות
שיעור 5 - נתונה ט"ל אבל היא מוגדרת רק על 3 וקטורים ויש לנו גם פרמטר, האם היא לכסינה?
19 דקות
שיור 6 - ט"ל בעולם המטריצות + דיון על לכסינות ומטריצה מלכסנת
27 דקות
שיעור 7 - ט"ל במרחב של מספרים מרוכבים: תרגיל מיוחד ופשוט אבל צריך לשים לב שיש לא מעט דקויות
22 דקות
שיעור 8 - הוכח/הפרך
23 דקות
שיעור 9 – עוד קצת הוכח/הפרך
11 דקות

פרק 6 - המרחב האוקילידי – קבוצות אורתונורמליות ואורתוגונליות

שיעורים : 8

סה״כ : 2 שעות 59 דקות

שיעור 1 - תרגיל טכני למציאת משלים אורתוגונלי, בסיסים אורתונורמלים, תהליך גרהאם שמידט ונרמול
30 דקות
שיעור 2 - מציאת היטל אורתוגונלי ב - 2 דרכים
30 דקות
שיעור 3 - נוכיח שהטרנספורמציה היא לינארית ע"י שימוש בתכונות המכפלה הסקלרית ובדיקת לכסינות
24 דקות
שיעור 4 - הקשר בין מרחב פתרונות למערכת הומוגנית והמשלים האורתוגונלי
12 דקות
שיעור 5 - דיון על קבוצה אורתונורמלית
14 דקות
שיעור 6 - דיון עקיף על הנורמה ותכונת החיוביות
17 דקות
שיעור 7 - קבוצה אל מול המשלים האורתוגונלי שלה + הפרכה
11 דקות
שיעור 8 - טיפים למבחן
41 דקות