חשבון אינפינטסימלי 1

״חשבון האינסופיים״ או בשמו הידוע יותר – חשבון אינפיניטסימלי (infinitesimal calculus or just Calculus) הינו ענף במתמטיקה העוסק בחקר של ״שינוי רציף״ (continuous change), ״קצב השינוי בכמויות״ (rate of change of quantities), אורכים, שטחים ונפחים של אובייקטים (כנאמר ״שטח בין שתי עקומות״). 

המושג שעומד בבסיס הענף הינו מושג הגבול הידוע בתור ״לכל אפסילון קיים N כך שלכל n ש

הגדול מ- N נקבל כי המרחק של הסדרה/הפונקציה מגבולה הוא לכל היותר אפסילון״ כאשר מושג זה מאפשר לנו בעצם לחקור ולעסוק בתוצאה של תהליכים אינסופיים.

מחשבה מעניינת שמתווספת לדיון הנ״ל שאנחנו נכנה במהלך הקורס ״כשאלה הנדסית״ שואלת - האם באמת ישנם כאלו תהליכים אינסופיים בטבע שאותו המתמטיקה מתיימרת לתאר? האם למשל כמות החומר ביקום היא אינסופית ולכן ישנם תהליכים אינסופיים? האם מעניין אותנו שטייס אוטומטי יודע להגיע להטיס את המטוס ליעדו ״באינסוף״ או כעבור ״אינסוף זמן״? בהחלט שאלה מעניינת וחשובה.

שני האישים הבולטים ביותר בתחום ואלו שבעצם גילו את החשבון האינפיניטסימלי הינם סר אייזיק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ שפחות או יותר הגיעו לאותה התגלית באותו הזמן וחוץ מתרומה מדעית לעולם תרמו גם עוד מריבה הקשורה ב – ״למי מגיע הקרדיט״ אך בכך אנחנו לא נעסוק בקורס שלנו.

החשבון האינפיניטסימלי מבוסס על שני ענפים עיקריים – חשבון דיפרנציאלי וחשבון אינטגרלי ומכאן השם הידוע הנוסף לקורס והוא חדו״א (חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי).

• חשבון דיפרנציאלי עוסק בשאלה ״מהי מהירות רגעית של האוטו שלי?״ כלומר איך בעצם יודע הרכב שלכם לומר לכם מה המהירות שאתם נושאים בכל רגע נתון (שיעור רגעי של השינוי בערכי הפונקציה – שזה המרחק בהתאם לשינוי בערכי המשתנים – שזה המהירות) ותחת הכותרת המשונה הזו בעצם נמצא את כל הקשור לרציפות, נגזרת, מהירות, תאוצה, טורי טיילור וכו,.
• חשבון אינטגרלי עוסק בשאלה ״מה השטח שכלוא בין שתי עקומות של פונקציות״ וכמובן שהדבר מוכלל לשטחים של גופים דו-ממדיים ונפחים של גופים תלת-ממדיים ואפילו שיחה עם יותר ממדים שהיא שיחה שמי שמקיים אותה בטוח קיבל ציון טוב בקורס הזה.

אנחנו כמובן נלמד את הקורס חשבון אינפיניטסימלי 1 שבו נתרכז בנושאים הבאים:

• אקסיומות המספרים הממשיים ובהם עיקרון ארכימדס, החלק השיברי, ערך שלם תחתון ועליון וצפיפות של קבוצות.
• גבולות של סדרה בדגש על עבודה נכונה עם ההגדרה ולאחר מכן עבודה עם חוקים אריתמטיים
• חסם עליון (sup) וחסם תחתון (inf¡) של קבוצות 
• גבולות חלקיים של סדרות ותתי-סדרות ובהם הלמה של קנטור, בולצאנו וירשטראס, הזזה של סדרה וקריטריון קושי להתכנסות של סדרה.

מעולם הסדרות נעבור לעולם הפונקציות ונדבר על:

• הגדרת הגבול של פונקציה (אפסילון ודלתא)
• פונקציה רציפה ובפרט נכיר את היינה (הקושר סדרה עם פונקציה), משפט ערך הביניים ושני המשפטים של וירשטראס
• פונקציה רציפה במידה שווה (רב״ש) ובה נכיר את משפט קנטור וכמה שאלות מרכזיות ושימושיות.
• נכיר את פונקציית האקספוננט והלוגריתם הטבעי (ln) וטכניקות חישוב גבולות של פונקציות מעריכיות
•  הגדרת הנגזרת ובעזרתה משפטים מאוד חשובים כגון משפט פרמה, רול, משפט ערך הממוצע של לגראנז׳ משפט דרבו כלל לופיטל והתנהגות הפונקציה מתוך הנגזרת הראשונה והשנייה שלה.